Hola, benvinguts al vídeo de resolució de l'exercici de
coneixements previs de l 'assignatura Sistemes Avançats de Control.
Treballarem el control lineal monovariable.
Primer, linealitzarem, perquè tot i que fem
control lineal, la planta no té per què ser lineal.
Després trobarem els models tant en espai d'estat com en funció de transferència.
Dissenyarem el control monovariable per a assignació de pols
i farem l'anàlisi d 'estabilitat per mètodes freqüencials.
Sempre que ens plantegem resoldre un problema, el primer
que hem de fer és entendre bé quin és el punt de partida.
El punt de partida és un sistema amb dos dipòsits, el dipòsit 1 i el dipòsit 2,
que el dipòsit 1 té un cabal d'entrada, q in, que està modificat per una vàlvula,
té un àrea, que coneixem la capacitat, que és l'àrea de la base, el nivell del
dipòsit és H1, hi ha un cabal que va de H1 a H2, que és Q1, que depèn de les
característiques de la vàlvula.
El dipòsit 2 és anàleg en el dipòsit 1, però amb una capacitat diferent.
Tenim la C2.
El cabal de sortida se'n va contra l 'atmòsfera, que seria el caval 2,
i mesurem el nivell del dipòsit, perquè, de fet, el problema ens parla que
aquesta és la sortida del nostre sistema.
Llavors, ens donen les equacions genèriques per qualsevol dipòsit i per
qualsevol vàlvula, que nosaltres haurem de particularitzar pel nostre sistema.
La primera equació faria referència al dipòsit 1.
Tindríem que l'àrea o capacitat multiplicat per la variació del nivell d
'aquest dipòsit, que depèn del temps, seria igual al que val d'entrada,
que depèn del temps, menys al cabal de sortida, que també depèn del temps.
D'acord?
El mateix podem fer pel segon dipòsit, l'oriosa volum, que és la capacitat per la
variació de nivell, derivada respecte al temps del nivell 2, seria igual al cabal
d 'entrada, que en aquest cas seria el cabal de sortida de l'altre, q sub 1.
Hem definit que el cabal q sub 1 és positiu en aquest sentit, que hauríem
pogut fer al revés, però ho hem fet així, menys
el cabal de sortida, que n'hem dit, q sub 2.
D'acord?
Aquestes serien les dues primeres equacions, que són equacions diferencials.
Després tenim que per una vàlvula podem saber que el cabal d'una vàlvula depèn
de la constant d'aquesta vàlvula i de la diferència de nivells dels dos dipòsits.
Això és una variable, depèn del temps.
Posem explícitament la dependència del temps perquè així serà més fàcil
reconèixer quines són variables i quins són els paràmetres.
Aquesta relació és una relació no lineal i el mateix tenim per l'altra vàlvula amb
una constant que pot ser diferent i el nivell del segon dipòsit, que és el punt
de sortida i no hi ha res més, no resta res, perquè surt contra l 'atmòsfera.
D 'acord?
Per altra banda, sabem que el cabal d 'entrada depèn amb una constant,
q sub in, de la proporció d'obertura d 'aquesta vàlvula, alfa sub in.
D 'acord?
Bé, ja tenim les equacions.
Això seria el primer apartat del problema.
que podem deduir d'aquestes equacions o que val la pena analitzar d'aquestes equacions.
El primer que podem veure és que hi ha dues derivades amb
la qual cosa estaríem parlant d'un sistema de segon ordre.
Això, encara que no ens ho demani, el problema està bé fer aquesta anàlisi.
I a més a més, tenim cinc equacions.
Una, dues, tres, quatre i cinc.
I quantes variables tenim?
Si comptem, tenim h1, q sub in, q sub 1, h2, q sub 2 i alfa in.
Fan un total de sis variables.
Si tenim sis variables i cinc equacions,
queda clar que n'hi ha una que és independent.
Per tant, tenim una entrada.
La diferència entre número de variables i número d'equacions ens dona el número de
variables independents que són les entrades al nostre sistema.
Recordem que estem fent un problema de monovariable.
Per tant, és raonable que tinguem una única entrada.
En el segon apartat, què ens demana?
El segon apartat ens demana que trobem un model en espai
d'estat a partir de les equacions de la pregunta 1.
D 'acord?
Llavors, ens recorda que la sortida ha de ser el nivell del segon dipòsit,
és a dir, H2.
Bé, per trobar el model en espai d'estat, el primer
que hem de fer és definir les variables d'estat.
Quines variables d'estat nosaltres creiem que ens interessen.
Bé, sabem que en una representació en espai d'estat hi ha infinites
representacions en espai d'estat en funció de quines variables d'estat es triïn.
nosaltres triarem, farem una tria molt convencional, seria les dues variables d
'estat, serien les variables que es deriven, d'acord?
Els dos nivells.
Hauríem pogut triar els cabals o combinacions d'aquestes variables.
El que no hauríem pogut triar seria l 'alfa in, perquè és la variable
independent o també el q in directament perquè en una relació lineal aquesta
variable no serviria com a variable d 'estat ja que
les entrades no s'accepten com a variables d'estat.
Per què?
Perquè poden tenir funcions no derivables i com que el nostre objectiu és tenir una
representació en espai d'estat on les variables
d'estat es deriven, això no podria ser.
Això és teoria que està bé recordar.
Bé, doncs l'entrada nosaltres l'assignarem a alfa in, si haguessin decidit fer servir
q in com a entrada eliminaríem aquesta variable i aquesta equació i tindríem
quatre equacions amb cinc variables però q in és una variable que és un cabal i el
que manipulem nosaltres realment és la vàlvula.
I finalment la sortida no és quelcom que puguem triar sinó que ens ho donen.
És el nivell del segon dipòsit que hagués pogut ser el cabal entre els dos
dipòsits hagués pogut ser el nivell del primer dipòsit hagués pogut ser el cabal
de sortida però realment tenint el sensor que mesura
aquest nivell és raonable que sigui la sortida.
D'acord?
Aquest seria l'elecció de variables i llavors a partir d'aquestes equacions
construirem les equacions en espai d'estat on el que hem de fer és tenir una equació
que ens doni la derivada de la primera variable d'estat en funció de les dues
variables d'estat i de l'entrada.
Aquesta funció no té per què ser lineal.
Estem en representació d'espai d'estat precisament permet representar sense haver
de tenir equacions lineals.
El mateix per la segona variable d'estat i finalment una equació de la sortida
que també depèn només de les variables d 'estat i de l'entrada.
D'acord?
En el nostre cas ara farem aglutinarem aquestes equacions d'aquí i aquestes d
'aquí veiem que aquí ja tenim la derivada d'una variable d'estat perquè H1 és la
variable d'estat aquí veiem que aquesta tria que hem
fet de variables d'estat ens facilita la feina d'acord?
Llavors tindríem que això és igual a 1 partit per C1 perquè passem dividint la C1
multiplicat per què?
Per la q in que nosaltres la tenim en forma de
k in U de T més menys perdó la q1 que la tenim
aquí en funció de les variables d'estat d 'acord?
Per tant, complim que hem trobat una funció de l'entrada i les dues variables d
'estat que ens explica la derivada de la primera variable d'estat el mateix farem
el mateix farem per la segona equació d 'estat aquí tindrem aquest terme d'aquí
però en positiu
menys el que val de sortida d 'acord?
això ens dona una representació en espai d 'estat només ens faltaria la equació de
sortida que és tan senzilla
com X2 que hagués pogut posar en algun cas m'he oblidat la
dependència explícita del temps totes aquestes X i aquestes
U depenen del temps aquest seria el segon apartat d'acord?
Tenim la representació en espai d'estat no lineal per què?
perquè veiem que hi ha una relació amb de arrels quadrades que fa que això no és
lineal el tercer apartat té a veure amb trobar un punt de treball que ens servirà
després per linealitzar aquest model llavors ens dona ens demana quin és el
valor de totes les variables del sistema, totes les sis variables des de l'entrada
fins a la sortida passant per totes les variables intermitges per un cert en un
cert punt com que tenim només una variable independent només que ens donin una de les
aquestes variables ja ens fixa la resta Perquè tenim totes aquestes equacions.
La variable que ens fixa en aquest cas és l'alfa in.
Ens diu que l'alpha in val 0,4.
És un tant per 1 d'obertura de la vàlvula
Ens dona aquest tant per 1 i hem de fixar...
i hem de trobar el valor de la resta. D'acord?
Ens dona els paràmetres.
Ens dona C1, C2, K1, K2... No els escriuré aquí perquè no tinc prou espai.
Per tant, jo aniré directament i construiré aquestes equacions.
Tinc que la primera equació que faig servir és
aquesta d'aquí, i que és allà on tinc l'alfa in.
Sé que el cabal d'entrada per aquesta
determinada alfa serà 0,01 multiplicat per 0,4.
I això em dona 0,004 metres cúbics partit per segon.
Són valors petits perquè he conservat les unitats del sistema internacional i metres
cúbics per segon són molts metres cúbics, són molts litres per segon.
D'acord?
Quines són les altres equacions que faré servir?
Doncs aniré directament a les equacions en espai d'estat, d'acord?
I llavors aquí trobaré, podré trobar, imposant que estigui en equilibri,
fent que la derivada de la variable d 'estat sigui 0, trobaré aquesta relació.
1 partit per C1, que és coneguda, K1, que és coneguda, llavors tinc el
valor de l'entrada, que és 0,4, i això val 0,04, d 'acord?
Menys K1, X1 en equilibri, menys X2 en equilibri.
D'acord?
Per altra banda, això em dóna, això em permet obtenir aquest resultat.
tinc que K1 multiplicat per X1 menys X2 serà igual a 0,004 que ja sabem que
són metres cúbics per segon però ara aquí no
estem en resultats finals, no poso les unitats.
Llavors aquest és el mateix valor que tinc en aquesta part d'aquí, perquè és el Q1
igualment per tant tinc que d'aquí, posant que això
sigui 0, la derivada sigui 0, tinc aquest valor d'aquí
menys K2 per l'arrel quadrada d'X2 en l 'equilibri.
Això em permet trobar, això em permet trobar X2 a l'equilibri
que serà igual a 0,004 dividit per 0,004 que dona 1.
Per tant, la X2 a l'equilibri val 1 metre.
D'acord?
I d'aquí, fent amb aquest valor d'aquí puc trobar que la X1, a partir d'aquí puc
trobar que la X1 en l'equilibri val 2 metres.
per altra banda, sé que Q sub 1 en l'equilibri valdrà 0,004 metres cúbics per
segon que ja l'havia trobat aquí i la Q sub 2 l'equilibri també ha de ser igual
perquè aquests dos han de ser 0 per tant, també em donarà 0,004 metres cúbics per
segon cosa que tampoc m'ha de sorprendre perquè si jo tinc això en equilibri
el cabal que entra per aquí ha de ser igual que el que surt per
aquí i el que surt per aquí per mantenir els nivells constants.
I amb això hauríem fet els tres primers apartats del problema.
Bé, en el punt 4 ens demana que trobem el model linealitzat en espai d'estat en
aquest punt recordem que el punt fem en el punt 4 el punt d'equilibri venia donat per
l 'entrada 0,4 a l'obertura i teníem aquests dos nivells, els valors intermitjos
de variables intermitjes dels cabals ja no els tenim en
compte perquè en el model en espai d'estat no apareixen.
D'acord?
Doncs, bueno el que hem de buscar és una aproximació d'això que serà la derivada
parcial de la F1 respecte X1 multiplicat per l'increment de X1 més la derivada
parcial d'F1 respecte X2 per l 'increment de X2 més la derivada parcial d
'F1 respecte la 1 per l'increment d'1, sempre això avaluat en el punt d'equilibri
D 'acord?
Òbviament això, cada un d'aquests elements d'aquí serà un número i crearà una relació
lineal, perquè serà la variable increment de x1, increment de x2, increment de 1
multiplicat per una constant i sumat.
I això ens donarà l'aproximació lineal perquè agafem només els termes de primer
grau, perquè els termes de grau superior els menyspreem.
Bé, això seria una linealització clàssica que farem el mateix, aquí hauríem de fer
el mateix, amb la derivada respecte d'F2, respecte
a x1, avaluat en aquell punt i successivament.
D 'acord?
Això ho farem aquí per tenir espai i tenim que la x1 punt, no?
Ara ja farem l'aproximació, posem-la igual, però sabem que és una aproximació,
fem la derivada d'aquesta funció respecte a x1, per tant, què ens quedarà?
quedarà un signe menys, dividit per c1, aquesta c1 d'aquí, la derivada d'això és
això elevat a un mig, baixarà el mig aquí, tindrem la quadrada
de baix i això ho hem d 'avaluar en el punt d'equilibri.
i a dalt tindrem la k1.
D'acord?
Això estarà multiplicant a l'increment de x1, que per no arrossegar tot el rato la
lletra delta, ja sabem que en el moment en
què l'inalitzem, les noves x són increments.
De fet, aquí tampoc hem posat l'increment.
D'acord?
Doncs farem el mateix derivant respecte a la x2.
Aquí, com que hi ha el signe menys i el signe menys, i aquí ens apareixerà el més
i tindrem alguna cosa similar, són derivades que estem molt habituats a
fer, per tant, x1 menys x2 en el punt d 'equilibri, multiplicat per x2.
Finalment, la derivada d'aquesta funció respecte a
la 1, això ja és una relació lineal, quedarà igual.
En cas que tinguem relacions lineals i nosaltres linealitzem, no ens hem de
preocupar perquè la linealització d'una funció lineal queda igual.
D'acord?
Què és el que farem?
Tindrem en el primer apartat, en la primera equació.
La segona equació, anàlogament, quan fem la derivada respecte a x1
d'aquest terme d'aquí, em quedarà en positiu, a 1, c2, 2, x1, menys x2 en
equilibri, aquí tenim l'altra capacitat, multiplicat per x1, més la derivada,
aquí apareix la x2 en tots dos, tindrem menys k1 partit per c2,
2 arrel quadrada de x1 en el punt d 'equilibri, menys x2 en el punt d
'equilibri, menys k2 partit per c2, 2, arrel quadrada de x2 en l'equilibri,
multiplicat per x2.
I aquesta segona equació no té l'entrada, per tant, la derivada respecte a la 1 és 0.
D 'acord?
Això què ens dona?
Això ens dona uns valors que serien menys 0,0001x1,
més 0,0001x2, més 0,0001x2, més 0,0002, 1.
Tindríem una relació lineal entre aquestes 3
variables de 2 variables d'estat i l 'entrada.
I aquí tindríem 0,0005x1 menys 0,0001x2, i
recordem que no depèn explicitament de l 'entrada.
Òbviament, depèn de l'entrada a través de la x1, que en depèn.
D'acord?
Aquesta seria la nostra equació d'estat.
En el cas de l'equació de sortida, com que ja era
lineal, jo ja no m'he de preocupar de linealitzar.
Tindríem aquestes equacions.
Això, si ho poso en forma matricial, m'està dient que la x punt és igual a A
multiplicat per la x, més la B multiplicat per la u, i la Y és igual a la C
multiplicat per la x, més la D multiplicat per la u, la A tindrà, serà aquesta.
El menys 0,0001, 0,0001, 0,0005 i menys 0,0001.
tindríem l'a, la b seria igual al 0,0002, 0 aquí, i finalment la c seria igual a 0,1.
La d, sabem que la majoria de vegades és 0,
Per què? perquè no sol haver-hi una dependència
directa de la sortida amb l'entrada, perquè serien
dependències que no passen per una certa dinàmica.
Aquí tindríem les tres matrius de la nostra representació en espai d'estat,
que com que és linealitzada, ja pot representar-se en forma matricial.
En el punt 5 és molt ràpid i el podrem fer en aquest raconet d'aquí, perquè el que
ens demana, el punt 5, és trobar els pols del sistema.
Donada una representació en espai d'estat, és molt fàcil trobar els pols del sistema
fent els valors propis de la matriu A, que aquí no ho farem amb A, sinó que
faríem servir una calculadora o el MATLAB, que ens donarà que un pol és igual a menys
0,03 per 10 o elevat a menys 3, i l'altre pol
seria menys 0,17 per 10 o elevat a menys 3.
Són pols contínuos, per tant, podem analitzar directament els pols sols,
perquè podem tenir una imatge del que és respecte al temps.
Són pols molt propers a l'eix imaginari, pel que
estem acostumats, i és perquè és un sistema lent.
Els dipòsits aquests triguen molt a omplir-se, per tant, un sistema lent.
És més, podem veure també que hi ha un pol dominant, perquè és una ordre de magnitud
de diferència respecte a l'altre pol.
I aquí acabaríem a l'apartat 5.
Bé, en el punt 6 ens demana, si llegim, que trobem la funció de transferència que
relaciona el nivell del segon dipòsit amb l'obertura de
l'electrovàlvula, que són l'entrada i la sortida que hem tingut fins ara,
la 1, que seria la posició de l 'electrovàlvula,
i el nivell, que seria la nostra Y. D'acord?
Per fer això, el que fem és agafar aquesta expressió
en espai d'estat i fer la transformada de la plaç.
Si fem la transformada de la plaç de la derivada, tindríem que S per X,
que és un vector, ara serà de S, és igual a la matriu A
multiplicat per la X de S, més la B per la U de S.
D'acord?
I la I de S és igual a la matriu C per X de S.
Llavors, manipulant això, podem veure que això implica que tenim que la identitat
per S menys A multiplicat per X de S és igual a la B multiplicat per la U de S.
D 'acord?
Manipulant aquesta, passant a la inversa aquí, i substituint
aquí, tindríem que la I de S és aquesta expressió.
És Y de S és igual a C per I identitat multiplicat
per S menys A a la menys 1 per B per U partit per S.
Tant Y com U són valors escalars, per tant, puc posar aquesta expressió que
diu que I de S dividit per la U de S, que passa dividint, quedarà aquesta
expressió d'aquí.
Menys 1 per B.
Sí?
Jo d'aquí conec la C, la A i la B, puc substituir, i em quedarà la C, que és 0,1.
Llavors, he de fer la inversa d'això, que seria la matriu aquesta d'aquí,
S més 0,0001 més 0,0001 partit aquí sota 0,0005, S més 0,0001 dividit pel
determinant d'aquesta matriu multiplicat per la B.
Això em dóna una funció de transferència d 'aquesta forma.
1 per 10 a la menys 8 partit per S al quadrat més 0,0002 S més 5 per 10 a la menys 9.
Si jo faig la S al dintre 0 veig que el guany d'aquesta matriu és 2 i si trobés
els pols trobaria els mateixos pols que hi havia trobat.
Si igual és aquest denominador a 0 trobaria aquests dos pols.
Les dues representacions són absolutament equivalents.
Aquesta és la funció de transferència i aquesta és la representació d'espai d'estat.
I amb això hem acabat l'apartat 6.
Molt bé.
En l'apartat 7 ens demana que dissenyem un
controlador pel nivell H2 en el segon dipòsit D'acord?
Fent servir com a acció de control l'alfa, que recordem que estaria aquí,
com a variada de la empolada, que asseguri un error zero a consignes constants.
Recordem que quan tanquem enllaç, la nova entrada de la planta, ara la
planta enllaç tancat, l'entrada ja no és
l'acció de control, sinó que és la consigna.
A consignes constants, aquí tenim una alimentació negativa, volem que l'error
sigui zero, en règim permanent.
Llavors, la funció de transferència que tenim, podem treure de l'apartat 6,
però també conjuntament amb el 5, veiem que teníem aquests dos pols,
i tenim aquest guany de l'apartat 6, tenint en compte que hi ha un pol
dominant, podem aproximar això per una planta
de primer ordre per simplificar els càlculs.
Tindríem aquí el pol, 3 per 10, a la menys 3, que és el pol dominant,
més 1, d'acord?
Aquesta seria la planta, negligint el pol que no és dominant,
serà una planta de primer ordre.
Com que volem un error en règim permanent zero, posarem una acció integral,
però sabem que l'acció integral sola introdueix molta inestabilitat,
i afegirem la proporcional.
Tindríem un controlador PI, amb aquesta funció de transferència.
Ara hem d'especificar. L'especificació, més enllà de l'error estacionari,
que l'assegurem amb l'acció integral, és per fixar els pols.
Què fixarem?
Sabem que si no ens allunyem molt del comportament de la planta enllaç obert,
aquesta aproximació que hem fet, que és un primer ordre, tindrà sentit.
Doncs hi posarem que un dels pols sigui el pol que ja tenim, 3,
que seria 3 per 10 amenys 4s més 1, que seria el que obtindríem de dividir-ho partit per
aquests 4 d'aquí, i l'altre el posarem 10 vegades més
ràpid, per tant, la seva inversa seria aquesta d'aquí.
Tindríem el polinòmic característic de l 'especificació.
Per altra banda, el polinòmic característic que tenim realment,
l'obtindrem de reduir la funció de transferència i trobar la funció de
transferència enllaç tancat, que ens donarà, doncs, el controlador més la ki
partit per la s, 2 partit per 3,3 per 10 a menys 4s més 1, 1 més s, kp més k i partit
per s, multiplicat per 2, 3,3 per 10 a menys 4s més 1.
d'acord?
Jo operant això, això donarà igual a 2, 2, kp, s més k i, i aquí tindrem s
multiplicant a 3, per 3, per 10 elevat a 4, 4s més 1,
més 2 s kp més 2s, k i.
Divideixo dalt i baix per la ki, per tenir com a terme independent un 1,
igual que tenim en l'especificació, i tinc el meu polinòmic característic,
que tinc realment és el 3,3 per 10 elevat a 4, partit per 2, ki, s al quadrat,
més, el tindrem, el 1 més 2, kp partit per 2, k i, s, més 1.
d 'acord?
Llavors, igualant els dos termes, els dos polinòmics característics,
obtindré que el 3,3 per 10 elevat a 4, partit per 2, k i
és igual al 3,3 per 10 elevat a 4
multiplicat per 3,3 per 10 elevat a 3, que seria aquest producte
aquestes dues d'aquí, que hauria de ser igual a aquest terme d'aquí, i això em donarà
que obtinc que la k i val 1,5 per 10 elevat a menys 4, d'acord?
Per altra banda, aquest terme d'aquí, 1 més 2, kp partit per 2, k i,
que la k i ja la conec, ha de ser igual a la suma d'aquestes dues termes,
3,3 per 10 elevat a 4, més 3,3 per 10 elevat a 3
i implica que la kp ha de ser igual a 5.
I amb això ja hauré dissenyat el meu controlador
pi, que compleix les especificacions.
He fixat els dos pols, per tant, en principi, l'estabilitat està garantida,
però en l'apartat 8 em pregunten que analitzi el marge de guany i el marge de fase.
Llavors, aquí tinc la funció de transferència enllaç obert, i he de fer
servir la funció de transferència enllaç obert,
que tindria la kp més s més k i partit per s,
multiplicat pel terme d'aquí,
més 1, i com que tinc aquí un 1, multiplicat aquí,
tinc un 1, perquè la realimentació és 1, d'acord?
Aquesta és la funció de transferència que jo
he de fer el diagrama de Bode per analitzar.
Aquí tinc un 0 i dos pols.
Si jo miro el diagrama de Bode, molt ràpidament puc veure que els elements
que m'interessen, com que tinc un integrador, m'interessaria la freqüència
1, d'acord?
Perquè vol dir que jo tinc...
i també m'interessen les freqüències dels pols i dels zeros.
El 0 que tinc d'aquí, que seria igualar aquest terme d'aquí amb els paràmetres,
tinc que el 0 és igual al pol dominant.
Llavors, aquestes dues posicions m 'interessen, també m'interessa aquesta d 'aquí.
Llavors, aquestes posicions serien el 0,1,
0,01, 0,001, 0,001, i aquí tindria el 0,001.
Aquí tindria el pol dominant i el 0, i aquí tindria l'altre pol.
Llavors, també tinc un guany de dos, que serien dos de Bs que s'ha fet aquí,
però, d'alguna manera, el més important aquí seria el meu integrador,
que faria que això d'aquí tindria aquest terme de l'integrador, tindria el terme
del pol i del 0, que es cancel·laria, i el terme de l'altre pol.
Llavors, el guany total vindrà a ser alguna
cosa així, que aquí caurà una mica més ràpid.
Seria el meu guany.
Però l'important és que la fase, si jo vinc a fer el mateix aquí a la fase,
en la fase d'aquestes d'aquí es cancel·len, l'integrador em dona menys 90
de fase per l'estona, i aquí tindria l 'altra fase, que passaria per aquí,
i tindria a menys 180 asintòticament.
Aquesta seria la fase total.
Tindria asintòticament al menys 180.
El fet que tendeixi asintòticament al menys 180 vol dir que no hi arriba mai,
per tant, el marge de guany és infinit.
Tanmateix, el marge de fase és limitat perquè fixem-nos que aquí tenim guanys positius
per una zona on la fase s'acosta molt al menys 180.
Per tant, tindríem que vigilar molt amb no introduir més fase.
Clar, més fase que es podria introduir?
Un retard.
Però clar, estem parlant de sistemes tan lents tan lents que
un retard degut als elements electrònics costa que succeeixi.
Per tant, realment, tot i que el marge de fases s'acosta
a zero, s'acosta a zero amb unes freqüències molt baixes.
Per tant, en principi, el control hauria de funcionar.
I amb això acabem el problema de coneixements previs que havíem de fer avui.
Moltes gràcies per la vostra atenció.